Прямоугольные треугольники

Скачать конспект сможете здесь >>>

Все задания в ОГЭ по геометрии на тему «Прямоугольные треугольники»  можно разделить на несколько типов. Ниже предлагается ознакомиться со всеми из них.

 

1 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — с синусами, косинусами, тангенсами для определения сторон треугольника. За­да­ние 9

1. Определяем понятие, данное в условии задачи:

синусом угла  А называется соотношение противолежащего катета к гипотенузе;

косинусом угла  А называется соотношение прилежащего катета к гипотенузе;

тангенсом угла  А называется соотношение противолежащего катета к прилежащему;

2. В полученном соотношении, выделяем искомый катет или гипотенузу;
3. Подставляем в формулу данные из условия задачи;
4. Решаем!!!

Примеры заданий:

 

1. В тре­уголь­ни­ке ABCугол C пря­мой, BC = 8 , sin A = 0,4.   Най­ди­те AB.

 

Ре­ше­ние.

Синус угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та ВС к ги­по­те­ну­зе АВ. По­это­му:

1. sinA=BC/AB
2. AB=BC/sinA
3. AB=8/0,4
4. AB=8*10/4=2*10=20

 

Ответ: 20.

 

2. В тре­уголь­ни­ке  ABC угол  C  равен 90°,  AC=15, cosA=5/7. Най­ди­те  AB.

 

Ре­ше­ние.

Так как тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный, то

1. cosA=AC/AB.
2. Имеем, AB=AC/cosA

3.AB=15/5/7

4. AB=15/5/7=3*7=21

Ответ: 21.

 

3.В тре­уголь­ни­ке  ABC  угол  C  равен 90°,  BC=12, sin A=4/11. Най­ди­те  AB.

Ре­ше­ние.

Так как тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный, то

1. sin A=BC/AB;
2. Имеем: AB=BC/sinA;
3. AB=12/4/11;
4. AB=12/4/11=3*11=33.

 

Ответ: 33.

 

 

4.В тре­уголь­ни­ке  ABC  угол  C  равен 90°,  AC=9, cos A=0,3. Най­ди­те  AB.

Ре­ше­ние.

Так как тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный, то

1. cosA=AC/AB.
2. Имеем, AB=AC/cosA

3.AB=9/0,3

4. AB=9/3/10=3*10=30

Ответ: 30.

 

5.В тре­уголь­ни­ке  ABC  угол  C  равен 90°,  AC=20, tg A=0,5. Най­ди­те  BC.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, по­это­му

1. tg A=BC/AC.
2. Имеем, BC=AC*tg A
3. BC=20*0,5
4. BC=20*5/10=10

Ответ: 10.

 

6.В тре­уголь­ни­ке  ABC  угол  C  равен 90°, BC=20, tg A=0,5. Най­ди­те AC.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, по­это­му

1. tg A=BC/AC.
2. Имеем, AC=BC/tg A
3. AC=20/0,5
4. AC=20/5/10=4*10=40

Ответ: 40.

7.В тре­уголь­ни­ке  ABC  угол  C  равен 90°,  AC=12, tg A=2*√10/3. Най­ди­те AB.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, по­это­му

1. tg A=BC/AC.
2. Имеем, BC=AC*tg A
3. BC=12*2*√10/3
4. BC=4*2*√10=8*√10
5. По т.Пифагора находим AB = √АС2+BC2=√144+(8*√10)2=28

Ответ: 28.

 

2 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — на соотношение  сторон треугольника и выражение одной части за X. Вопрос 9

1. Выражаем за X одну часть;
2. Составляем уравнение с учетом суммы углов треугольника равной 180°, а суммы острых углов 180°-90°=90°;
3. Решаем уравнение;
4. Перемножаем полученное значение X на количество частей (см.по условию задачи, что именно необходимо найти)

 

Примеры заданий:

 

1. Два ост­рых угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 4:5. Най­ди­те боль­ший ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

1.Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 4 части к 5 ча­стям, сумма этих углов 4 + 5 = 9 ча­стей.

2. 4х+5х=90
3. 9х=90

Х=90/9

x=10

4. Одна часть равна 10°. Так как боль­ший угол со­дер­жит в себе 5 ча­стей, он равен 5·10° = 50°.

Ответ: 50.

2. Два ост­рых угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 2:3. Най­ди­те боль­ший ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ре­ше­ние.

1.Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 2 части к 3 ча­стям, сумма этих углов 2 + 3 = 5 ча­стей.

2. 2х+3х=90
3. 5х=90

Х=90/5

x=18

4. По­это­му одна часть равна 18°. Так как боль­ший угол со­дер­жит в себе 3 ча­сти, он равен 3·18° = 54°.

Ответ: 54.

3. Два ост­рых угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 2:8. Най­ди­те наимень­ший ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ре­ше­ние.

1. Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 2 части к 8 ча­стям, сумма этих углов 2 + 8 = 10 ча­стей.
2. 2х+8х=90
3. 10х=90

Х=90/10

x=9

4. По­это­му одна часть равна 9°. Так как мень­ший угол со­дер­жит в себе 2 ча­сти, он равен 2·9° = 18°.

Ответ: 18.

4. Два ост­рых угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2. Най­ди­те наимень­ший ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

1.Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1 часть к 2 ча­стям, сумма этих углов 1 +2 = 3 ча­сти.

2. 1х+2х=90
3. 3х=90

Х=90/3

x=30

4.По­это­му одна часть равна 30°. Так как мень­ший угол со­дер­жит в себе 1 ча­сть, он равен 1·30° = 30°.

Ответ: 30.

 

 

3 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — на площадь прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. За­да­ние 9, 11

1. Находим величину каждого катета из данных в условии задачи

sinA=BC/AB,  AB=BC/sinA, где ВС противолежащий катет к углу ВАС

cosA=AC/AB, имеем, AB=AC/cosA, где АС, прилежащий катет к углу ВАС

tg A=BC/AC, имеем, BC=AC*tg A

2. также используем формулу нахождения катета по т. Пифагора, например

АС²=ВА²- ВС²;

ВС²=ВА²-АС²;

ВА²=АС²+ВС².

3. S=(AC*BC)/2

половина произведения катетов — формула площади прямоугольного треугольника.

 

Примеры заданий:

1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него,

равен 45°. Най дите площадь треугольника.

Решение.

Так как в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, то такой треугольник является равнобедренным.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Таким образом:  S=(10*10)/2=50

Ответ: 50.

 

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.

Решение.

Пусть катеты имеют длины a и b, а гипотенуза — длину c. Пусть длина высоты, проведённой к гипотенузе равна h. Найдём длину неизвестного катета из теоремы Пифагора:

b=√c²-a²=√100²-28²=√4²(25²-7²)=4√625-49=4*24=96

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов:

S=28*96/2=1344.

Ответ: 1344.

 

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов

равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому второй острый угол равен

180° − 90° − 45° = 45°. Оба острых угла равны, следовательно, данный треугольник — равнобед‐

ренный, откуда получаем, что оба катета равны.

Длина катета равна 70*sin45°=70*√2/2=35√2

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

S=35√2*35√2/2=35*35=1225.

Ответ: 1225.

 

 

4 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — на знание свойств наименьшего и наибольшего угла, расположения наибольшей и наименьшей стороны и теоремы Пифагора.    За­да­ние 9

4. Напротив наименьшего угла расположен наименьший катет и, наоборот, напротив наибольшего угла располагается наибольший катет.

 

5. Определяем необходимой угол (катет) по вопросу задачи;

 

6. Находим наименьший (наибольший) катет и, соответственно, необходимые углы;

 

7. далее используем формулу нахождения длины катета по т. Пифагора, например

АС²=ВА²- ВС²;

ВС²=ВА²-АС²;

ВА²=АС²+ВС².

Примеры заданий:

1. Катеты прямоугольного треугольника равны √15 и 1. Найдите синус наименьшего угла этого тре- угольника.

Решение.

1. Напротив наименьшего угла расположен наименьший катет и, наоборот, напротив наибольшего угла располагается наибольший катет.
2. √15≈3,9 3,9>1,
3. Значит наименьший угол располагается напротив наименьшего катета равного 1.

 

4. Пусть катеты имеют длины a и b, а гипотенуза — длину c. Найдём длину гипотенузы по теореме

Пифагора: c=√b²+a²=√(√15)²+1²=√15+1=√16=4

 

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны, 4 > 1 следовательно, синус

наименьшего угла равен: sin=BC/AB=1/4=0,25

 

Ответ: 0,25.

 

5 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — на подобие треугольников (3 признака подобия).   За­да­ние 9

Три признака подобия:

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованными этими сторонами, равны, то треугольники подобны;

 

3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

6 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — на углы взаимно перпендикулярных сторон.  За­да­ние 9

 

 

7 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — радиус окружности, описанной возле прямоугольного треугольника.  За­да­ние 9

 

 

8 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — на углы по теореме Пифагора.    Зада­ние 9

 

9 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»  — на сумму углов треугольника.  За­да­ние 9

 

 

Необходимые определения для решения заданий по треугольникам:

— вертикальные углы равны;

— сумма всех углов треугольника равна 180 градусов;

— сумма смежных углов равна 180 градусов;

— теорема Пифагора С²=а²+b²;

— определения синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе);

— определения косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

— определения тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему).

Скачать конспект по теме «Прямоугольные треугольники» сможете здесь >>>